每日三思（4月15日）

问题一：用自已的话总结一下《概率论》第五章的主要内容

第五章主要介绍的是联合概率以及边际概率的概念。主要是围绕第三章介绍的概率质量函数（PMF）、累计分布函数（CDF）以及概率密度函数（PDF）进行展开。

联合概率是用来描述两个或多个随机事件随机事件同时发生的概率。而边际概率则是在忽略其他随机变量的影响下，描述单一随机变量发生的概率。

进一步对这六种函数进行解释：

1. 联合概率质量函数（Joint PMF）

   描述两个或更多个离散型随机变量同时发生的概率，联合概率质量函数 $P(X = 1, Y = 3)$ 就是出现结果：$X$为1且$Y$为3的概率，$X$和$Y$互不干扰。

2. 边际概率质量函数（Marginal PMF）

   描述一个随机事件发生的概率，不考虑其他事件的影响。边际概率质量函数$P(X=2)$就是出现结果$X$等于2的概率，其他事件对结果无关。

3. 联合累计分布函数（Joint CDF）

   联合累积分布函数用来描述两个（或者更多）随机变量同时取值时，它们小于或等于某个值的概率。$F_{X,Y}(x,y)$就是出现结果：$X$小于等于$x$,$Y$小于等于$y$的概率

$$F_{X,Y}(x,y)=P(X≤x 且 Y≤y)$$

4. 边际累计分布函数（Marginal CDF）

   边际累积分布函数是从联合累积分布函数中得到的，它描述了单个随机变量的累积概率。与Marginal PMF同理，只关心随机变量小于等于某个值的概率，概率与其他变量无关。

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$$F_X(x)=P(X≤x)$$

5. 联合概率密度函数（Joint PDF）

   描述两个或更多个连续型随机变量之间的概率分布的函数，原理与联合概率质量函数一致，但是两个独立变量都是连续随机的。通过积分将取值区域内的所有可能的$X、Y$的值累加。需要注意的是它的$X、Y$具有非负性，并且总概率为1。

6. 边际概率密度函数（Marginal PDF）

   它是通过对Joint PDF的积分得到的，只描述单一的随机变量的概率密度。

   $X$ 的边际PDF $f_X(x)$ 就是通过对联合PDF $f_{X,Y}(x, y)$ 在 $y$ 上积分得到的：

$$f_{X}(x)=∫_{−∞}^{∞}f_{X,Y}(x,y)dy$$

联合概率就像社会中的合作关系，相互依赖，相互影响。而边际强调的则是独立的个体，不受外界干扰，亦或是从多种影响中单独抽出来某一个单一因素的影响。

问题二：用通俗易懂的话来描述C++中Vector和List的关系和区别

​vector​ 和 list​ 都是标准模板库（STL）的一种容器。动态列表 vector​ 像一条长长的货架，每个位置都有编号，所以在取用时会非常方便。它还可以很快速的往货架最后面加东西，但是在货架中间加东西，货架的编码会乱掉，这时候原先的编码变得无意义，需要重新排序。

​list​ 的结构像一条由很多小盒子组成的链条，每个小盒子里都有一个东西和指向前后盒子的指针。在插入或者删除东西时会很方便，只需要调整一下指针即可，但是在查询数据时，需要从头或者从尾来逐个访问。

因此，vector​ 更擅长快速拿东西，list​ 更擅长快速插入和删除。

问题三：总结一下概率论第四章的连续均匀分布和正态分布和Beta分布，以及它们分别对于现实的反映？

1. 连续均匀分布 (Continous Uniform Distribution)

它代表着在一个特定的区间内，所有可能结果出现的概率是相等的。即：在这个区间内，每个数值的出现都是等可能的。

和离散随机分布一样，同样是体现了均分、平等，但离散的变量是随机的数，而连续随机分布需要在一个区间内进行随机抽取，如[0,1]。

2. 正态分布 (Normal Distribution)

正态分布形如一个钟，左右对称，中间最高，两边逐渐变低。其中,均值 $\mu$ 是整个分布的中心，通常是数据集中的“典型值”。标准差 $\sigma$ 决定了分布的“宽度”。如果标准差很小，数据会很集中在均值附近；如果标准差很大，数据会比较分散。

在自然界中有很多东西符合正态分布，但我觉得这个在广金以及广金的学生中体现的尤为明显：中庸。

3. Beta分布

Beta 分布是一种连续概率分布，它常用于描述一个随机变量的分布，这个变量的值介于 0 和 1 之间。它有两个形状参数 $\alpha$ 和 $\beta$，这些参数决定了分布的形态，控制着分布的“尖锐度”和“倾斜程度”。它的形状并不固定，依赖于$\alpha$ 和 $\beta$。

• $\alpha =β=1$​ 时，Beta 分布是均匀分布，表示在 [0, 1] 范围内每个值的可能性相等。
• $\alpha > 1$ 和 $\beta > 1$ 时，分布会集中在中间，形成一个钟形。
• $\alpha < 1$ 和 $\beta < 1$ 时，分布集中在 0 和 1 处，表示极端值的可能性较大。
• $\alpha \neq \beta$ 时，分布会偏向较小值或较大值，依赖于哪个参数较大。

Beta 分布是描述不确定性的分布,我们无法了解摸个时间或者结果的真实概率，只能通过先验信息来尝试预测。同时，Beta分布的形状可以通过参数的变化而变化，这也就意味着我们能够通过不断地改变，从局部最优解一直到全局最优解。还有，Beta分布也说明了，当我们拥有的信息越来越多时，我们得到的分布概率也就会更加全面、靠谱。

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