计算机组成原理：计算机的运算方法

考点1：进制转换

一、什么是进制？

进制 = 进位计数制
是人为定义的带进位的计数方法。
对于任意一种 X 进制，表示每一位上的数在运算时都是逢X进一位。

二、进制的基本要素

一个进制包含：

1. 数码：用于表示该进制的符号集合

2. 基数：该进制中可用数码的个数（十进制基数为10，二进制基数为2）

3. 数位：数码在一个数中所处的位置（从右往左依次是第0位、第1位……）

4. 权：某位上数字的实际值 = 数码 × 基数的幂次

   权 = 基数^位置（从右往左，从0开始）

三、常见进制及相互转换

（1）十进制 → 非十进制（整数部分）

方法：除基取余法

步骤：

1. 将原数不断除以目标进制的基数；
2. 每次记录余数；
3. 最后按逆序排列余数即得结果。

将 (19)₁₀ 转换为二进制

19 ÷ 2 = 9 …… 1  
9  ÷ 2 = 4 …… 1  
4  ÷ 2 = 2 …… 0  
2  ÷ 2 = 1 …… 0  
1  ÷ 2 = 0 …… 1  
↓ 逆序排列 → (10011)₂

（2）十进制 → 非十进制（小数部分）

方法：乘基取整法

步骤：

1. 将小数部分不断乘以目标进制的基数；
2. 每次取整数部分；
3. 直到小数部分为0或达到精度要求；
4. 取出整数部分顺序排列即得结果。

例：将 (0.6875)₁₀ 转换为二进制

0.6875 × 2 = 1.375 → 整数部分：1  
0.375  × 2 = 0.75  → 整数部分：0  
0.75   × 2 = 1.5   → 整数部分：1  
0.5    × 2 = 1.0   → 整数部分：1  
↓ 顺序排列 → (0.1011)₂

（3）N进制 ↔ M进制（非十进制之间）

通用方法：先转为十进制，再转为目标进制。

特殊技巧：

二进制 ↔ 八进制：每三位一组分组（从右向左）

二进制 ↔ 十六进制：每四位一组分组，例如：(1101011.11)₂ → 分组为 0001 1010 11.11 → (1A.B)₁₆​

考点2：BCD码

一、BCD码定义

BCD码（Binary-Coded Decimal）：用4位二进制数表示1位十进制数。

二、分类

类型	特点
有权BCD码	各位有固定权重，可直接按权相加还原数值
无权BCD码	不具备固定的权值，但具有其他优点

（1）有权BCD码

8421码：最常用，权重为 8,4,2,1

表格如下：

十进制	8421 BCD码	权值说明
0	0000	——
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	2+1
4	0100	4
5	0101	4+1
6	0110	4+2
7	0111	4+2+1
8	1000	8
9	1001	8+1

注意：BCD码只表示0~9，不表示10及以上（如10不能用1010表示）

（2）无权BCD码

余3码：每个十进制数加3后再编码，如：3 → 3+3=6 → 0110

余3循环码：具有相邻性，便于电路设计

格雷码：相邻两个代码仅一位不同（抗干扰好）

考点3：原码、反码、补码、移码

一、机器数的分类

在计算机中，参与运算的数据分为两类：

类别	特点
无符号数	所有位均为数值位，无符号位，表示范围：0 ~ 2ⁿ⁻¹（n为字长） 如8位无符号数：0 ~ 255
有符号数	最高位为符号位： - 0 表示正 - 1 表示负 其余位为数值位

示例：8位字长下

​+19.75 的真值 → 机器数：0 10011.11​

​-19.75 的真值 → 机器数：1 10011.11​

二、四种编码方式

编码	定义	正数	负数
原码	[X]原 = 符号位 + 绝对值	与真值相同	符号位为1，数值位为绝对值
反码	[X]反 = 符号位 + 数值位取反	与原码相同	符号位不变，其余位取反
补码	[X]补 = [X]反 + 1（或模运算）	与原码相同	反码 + 1
移码	[X]移 = [X]补 的符号位取反	与补码相反	补码符号位翻转

规律总结：

当 x > 0：[X]原 = [X]反 = [X]补

当 x < 0：[X]补 = [X]反 + 1；[X]移 = [X]补 的符号位取反

举个例子：x = -19.75，假设用8位表示（含符号位）

• 真值：-19.75 = -10011.11B
• 原码：1 10011.11​
• 反码：1 01100.00​
• 补码：1 01100.01 ← 反码+1
• 移码：0 01100.01 ← 补码符号位取反

三、为什么用补码？

在计算机中，减法可以转化为加负数的补码，在使用补码后，加法器无需区分正负号，可以统一处理，进而实现了“统一加法电路完成加减运算”。

举个例子：计算 15 - 7​

[15]补 = 0 1111

[-7]补 = 1 1001（先求7的补码再变负）

相加：

  0 1111
+ 1 1001
--------
1 10000 → 忽略溢出位 → 结果为 01000 = 8

四、溢出判断

方法	原理
双符号位法（变形补码）	使用两位符号位，正常为 00 或 11，若出现 01 或 10 则溢出
异或判断法	若符号位与最高数值位异或结果为1，则溢出

两个正数相加结果为负 → 溢出，两个负数相加结果为正 → 溢出

考点4：定点与浮点表示

定点：小数点位置固定；浮点：小数点位置可变，适合表示大范围数据

一、定点表示

小数点隐含在某个固定位置

分类：

• 定点整数：小数点在最低位之后

  • 如：1001.00 表示 9

• 定点小数：小数点在最高位之后

  • 如：0.1001 表示 0.5625

优点：结构简单，速度快；缺点：表示范围小，不适合科学计算

二、浮点表示（IEEE 754标准）

IEEE 754 是国际通用的浮点数标准，分为两种主要格式：

类型	字长	结构
单精度	32位	​S E M：1位符号 + 8位阶码 + 23位尾数
双精度	64位	​S E M：1位符号 + 11位阶码 + 52位尾数

位序示意图：

32位：[S][E(8位)][M(23位)]
       ↑     ↑        ↑
      31    30-23     22-0

64位：[S][E(11位)][M(52位)]
       ↑     ↑         ↑
      63    62-52     51-0

注意：符号位S，0为正，1为负；阶码E，用偏置值表示（避免负数）；尾数M，隐含前导1（规格化时）

2. 真值计算公式

对于一个规格化的浮点数 x：

32位单精度：

$$x = (-1)^S \times (1.M) \times 2^{(E - 127)}$$

64位双精度：

$$x = (-1)^S \times (1.M) \times 2^{(E - 1023)}$$

其中：$(-1)^S$表示决定正负号；$(1.M)$表示尾数部分，其中“1.”是隐含的（即实际为 1 + 小数部分）；指数部分使用偏置值：32位偏置=127，64位偏置=1023

3. 【例题】计算 IEEE 754 浮点数真值

题目：计算 IEEE 754 标准浮点数 1 10000001 01000000000000000000000 的真值

部分	值	解析
S（符号位）	1	表示该数为负数
E（阶码）	​10000001₂ = 129₁₀	偏置后真实指数 e = 129 - 127 = 2
M（尾数）	​01000000000000000000000​	表示小数部分，补上隐含的1 → 1.01₂

代入公式：

$$x = (-1)^1 \times (1.01)_2 \times 2^2 = -1.25_{10} \times 4 = -5.0$$

答案： -5.0

考点5：定点运算

一、移位操作

移位是实现乘除的基础操作，常见有左移和右移

1. 无符号数移位

• 左移：相当于 ×2（每左移一位）
• 右移：相当于 ÷2（每右移一位）

2. 有符号数移位（以补码为例）

移位类型	规则	作用
算术左移	左移，低位补0	相当于 ×2，但可能溢出
算术右移	右移，高位补符号位	相当于 ÷2，保持符号不变

（1）A = +26 → [A]补 = 0 0011010

操作	机器数	真值
移位前	0,0011010	+26
左移一位	0,0110100	+52
左移两位	0,1101000	+104
右移一位	0,0001101	+13
右移两位	0,0000110	+6

（2）A = -26 → [A]补 = 1 1100110

操作	机器数	真值
移位前	1,1100110	-26
左移一位	1,1001100	-52
左移两位	1,0011000	-104
右移一位	1,1110011	-13
右移两位	1,1111001	-6

二、加减运算

计算机中采用 补码 进行加减运算

1. 原理

无论操作数正负，均用补码表示

• 减法 → 加负数的补码
• 符号位参与运算，与数值位同等对待
• 最高位产生的进位自然丢弃（无需特殊处理）

2. 溢出判断

当两个同号数相加，结果异号从而发生溢出

方法	原理
双符号位法（变形补码）	使用两位符号位：00（正）、11（负） 若出现 01 或 10 → 溢出
异或判断法	若符号位与最高数值位异或结果为1 → 溢出

示例：

​[X]补 = 01111（+15）

​[Y]补 = 01001（+9）

相加得：10100 → 符号位为1，但两数均为正 → 溢出

3. 例题演示：补码加法

计算：15 + (-7)​

[15]补 = 0 1111

[-7]补 = 1 1001

相加：

  0 1111
+ 1 1001
--------
1 10000 → 忽略最高位进位 → 01000 = 8 

结果正确，无溢出。

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